Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores reais de α, β e γ de forma que a função f seja contínua nos pontos x₀ = 1 e x₀ = 2. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e como aplicar limites nesses pontos específicos.
Passo 2
Vamos começar garantindo a continuidade em x₀ = 1. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (x → 1⁻) e pela direita (x → 1⁺) deve ser igual ao valor da função em x = 1, ou seja, f(1) = α.
Passo 3
Primeiro, calculamos o limite de f(x) quando x → 1⁻ (pela esquerda):
Sabemos que:
Aqui, u = x - 1 e quando x → 1, u → 0. Portanto:
Passo 4
Agora, calculamos o limite de f(x) quando x → 1⁺ (pela direita):
Simplificando a expressão:
Então:
Passo 5
Para que f seja contínua em x = 1, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em x = 1:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Agora, vamos garantir a continuidade em x₀ = 2. Novamente, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda (x → 2⁻) e pela direita (x → 2⁺) seja igual ao valor da função em x = 2, ou seja, f(2).
Passo 7
Primeiro, calculamos o limite de f(x) quando x → 2⁻ (pela esquerda):
Substituindo :
Agora, substituindo x = 2:
Passo 8
Agora, calculamos o limite de f(x) quando x → 2⁺ (pela direita):
Substituindo x = 2:
Passo 9
Para que f seja contínua em x = 2, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em x = 2:
Substituindo os valores que encontramos:
Resolvendo para γ:
Resposta
Os valores reais que tornam a função f contínua são: