Considere a função:
f(x)= sen(x-1)x-1 & se x<1 alpha & se x=1 beta(x^2-1)x-1 & se 1= 2
Encontre valores reais para alpha, beta e gamma tais que a função f seja contínua nos pontos x0=1 e x0=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)= sen(x-1)x-1 & se x<1 alpha & se x=1 beta(x^2-1)x-1 & se 1= 2
Queremos encontrar os valores reais de α, β e γ de forma que a função f seja contínua nos pontos x₀ = 1 e x₀ = 2. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e como aplicar limites nesses pontos específicos.

Passo 2

Vamos começar garantindo a continuidade em x₀ = 1. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (x → 1⁻) e pela direita (x → 1⁺) deve ser igual ao valor da função em x = 1, ou seja, f(1) = α.

Passo 3

Primeiro, calculamos o limite de f(x) quando x → 1⁻ (pela esquerda):
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- sen(x-1)x-1
Sabemos que:
limu to 0 sen(u)u = 1
Aqui, u = x - 1 e quando x → 1, u → 0. Portanto:
limx to 1^- f(x) = 1

Passo 4

Agora, calculamos o limite de f(x) quando x → 1⁺ (pela direita):
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ beta(x^2-1)x-1
Simplificando a expressão:
x^2-1x-1 = (x-1)(x+1)x-1 = x + 1 (para x neq 1)
Então:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ beta (x + 1) = beta (1 + 1) = 2beta

Passo 5

Para que f seja contínua em x = 1, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em x = 1:
limx to 1^- f(x) = f(1) = limx to 1^+ f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
1 = alpha = 2beta
Isso nos dá duas equações:

Passo 6

Agora, vamos garantir a continuidade em x₀ = 2. Novamente, precisamos que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda (x → 2⁻) e pela direita (x → 2⁺) seja igual ao valor da função em x = 2, ou seja, f(2).

Passo 7

Primeiro, calculamos o limite de f(x) quando x → 2⁻ (pela esquerda):
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- beta(x^2-1)x-1
Substituindo limx to 2^- f(x) = 12 cdot x^2-1x-1 = 12 cdot (x + 1) (para x neq 1) :
12 cdot (2 + 1) = 12 cdot 3 = 32 = 1.5
Agora, substituindo x = 2:

Passo 8

Agora, calculamos o limite de f(x) quando x → 2⁺ (pela direita):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ gamma(x^2+1)2x
Substituindo x = 2:
gamma(2^2+1)2 cdot 2 = gamma cdot 54 = 5gamma4

Passo 9

Para que f seja contínua em x = 2, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em x = 2:
limx to 2^- f(x) = f(2) = limx to 2^+ f(x)
Substituindo os valores que encontramos:
1.5 = 5gamma4
Resolvendo para γ:
gamma = 1.5 times 45 = 65 = 1.2

Resposta

Os valores reais que tornam a função f contínua são:
alpha = 1, beta = 12, gamma = 1.2

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