Calcule as integrais definidas e indefinidas.
integral3^4 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular tanto a integral indefinida quanto a integral definida de:
integral3^4 x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 , dx
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente com frações racionais. Vamos precisar usar a divisão polinomial e a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observamos que o grau do numerador ( x^3) é igual ao grau do denominador ( x^3). Nessa situação, fazemos a divisão dos polinômios para separar a parte inteira da fração.
Dividindo x^3 - 2x^2 - 4 por x^3 + 2x^2, temos:
x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 = 1 + -4x^2 - 4x^3 + 2x^2

Passo 3

Agora, vamos focar na parte fracionária -4x^2 - 4x^3 + 2x^2. Podemos fatorar o denominador:
x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)
Então, a fração fica:
-4x^2 - 4x^2(x + 2) = -4(x^2 + 1)x^2(x + 2)

Passo 4

Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos achar constantes A, B e C tais que:
-4(x^2 + 1)x^2(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + 2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x + 2), temos:
-4(x^2 + 1) = A x (x + 2) + B(x + 2) + C x^2

Passo 5

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
-4x^2 - 4 = (A + C)x^2 + (2A + B)x + 2B
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
A + C = -4 2A + B = 0 2B = -4
Resolvendo esse sistema:
  • De 2B = -4, temos B = -2.
  • Substituindo B = -2 em 2A + B = 0: 2A - 2 = 0 Rightarrow A = 1.
  • Substituindo A = 1 em A + C = -4: 1 + C = -4 Rightarrow C = -5.

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
-4(x^2 + 1)x^2(x + 2) = 1x - 2x^2 - 5x + 2

Passo 7

Voltando à integral original, temos:
integral x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 , dx = integral (1 + 1x - 2x^2 - 5x + 2) , dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  • integral 1 , dx = x
  • integral 1x , dx = ln|x|
  • integral -2x^2 , dx = 2 cdot 1x = 2x
  • integral -5x + 2 , dx = -5 ln|x + 2|
Então, a integral indefinida fica:
x + ln|x| + 2x - 5ln|x + 2| + C

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral definida de 3 a 4 usando a expressão que encontramos:
[ x + ln|x| + 2x - 5ln|x + 2| ]3^4
Substituindo os limites:
Para x = 4:
4 + ln4 + 24 - 5ln6
Para x = 3:
3 + ln3 + 23 - 5ln5
Calculando a diferença:
(4 + ln4 + 12 - 5ln6) - (3 + ln3 + 23 - 5ln5) = 1 + ln(43) - 16 - 5ln(65)

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 , dx = x + ln|x| + 2x - 5ln|x + 2| + C
E a integral definida de 3 a 4 é:
integral3^4 x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 , dx = 1 + ln(43) - 16 - 5ln(65)

Exercícios relacionados

Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[2, 8], [-1, -2]] X
Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[2 3] [2 1]] X
Considere f(x, y) = x^2 + y^2 e a curva (x(t), y(t)) = (e^t, cos(t)).
a) Encontre g(t) = f(x(t), y(t))
Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[6, -1], [5, 4]] X