Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular tanto a integral indefinida quanto a integral definida de:
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente com frações racionais. Vamos precisar usar a divisão polinomial e a decomposição em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Observamos que o grau do numerador () é igual ao grau do denominador (). Nessa situação, fazemos a divisão dos polinômios para separar a parte inteira da fração.
Dividindo por , temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte fracionária . Podemos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos achar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Passo 5
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo esse sistema:
De 2B = -4, temos B = -2.
Substituindo B = -2 em 2A + B = 0: 2A - 2 = 0RightarrowA = 1.
Substituindo A = 1 em A + C = -4: 1 + C = -4RightarrowC = -5.
Passo 6
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original: