Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[2 3] [2 1]] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar o ponto crítico do sistema dado e descobrir se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos trabalhar com matrizes e autovalores, que são ferramentas da álgebra linear usadas para analisar sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Aqui, a matriz é:
Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz, pois eles nos dizem como o ponto crítico se comporta.

Passo 3

Pra achar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde representa o determinante, são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Explicando o determinante: para uma matriz , o determinante é .
Aplicando isso:
Vamos expandir a expressão:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos analisar:
  • é positivo.
  • é negativo.
Quando temos autovalores com sinais opostos, o ponto crítico é do tipo sela.

Passo 8

Sobre a estabilidade:
  • Se todos os autovalores tivessem sido negativos, seria estável.
  • Se todos fossem positivos, seria instável.
  • Como temos um positivo e outro negativo, o ponto crítico é instável.

Resposta

O ponto crítico é uma sela e é instável.

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