Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar o ponto crítico
do sistema dado e descobrir se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos trabalhar com matrizes e autovalores, que são ferramentas da álgebra linear usadas para analisar sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Aqui, a matriz é:
Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz, pois eles nos dizem como o ponto crítico se comporta.
Passo 3
Pra achar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde
representa o determinante,
são os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Explicando o determinante: para uma matriz
, o determinante é
.
Aplicando isso:
Vamos expandir a expressão:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos analisar:
-
é positivo. -
é negativo.
Quando temos autovalores com sinais opostos, o ponto crítico é do tipo sela.
Passo 8
Sobre a estabilidade:
- Se todos os autovalores tivessem sido negativos, seria estável.
- Se todos fossem positivos, seria instável.
- Como temos um positivo e outro negativo, o ponto crítico é instável.
Resposta
O ponto crítico
é uma sela e é instável.
Exercícios relacionados
Sendo
, mostre que
.
Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Calcule as integrais definidas e indefinidas.
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