Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[6, -1], [5, 4]] X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar o ponto crítico de um sistema linear e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e matrizes, especialmente sobre eigenvalores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os eigenvalores da matriz do sistema. Os eigenvalores nos ajudam a entender o comportamento das soluções próximas ao ponto crítico.
A matriz do sistema é:
Para encontrar os eigenvalores ( ), resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Os eigenvalores são complexos: e . Isso significa que o ponto crítico é um foco (ou espiral). Além disso, como a parte real dos eigenvalores ( ) é positiva, isso indica que as soluções crescem exponencialmente à medida que o tempo avança.

Resposta

O ponto crítico é um foco instável.

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