Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar o ponto crítico
de um sistema linear e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e matrizes, especialmente sobre eigenvalores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os eigenvalores da matriz do sistema. Os eigenvalores nos ajudam a entender o comportamento das soluções próximas ao ponto crítico.
A matriz do sistema é:
Para encontrar os eigenvalores (
), resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Os eigenvalores são complexos:
e
. Isso significa que o ponto crítico é um foco (ou espiral). Além disso, como a parte real dos eigenvalores (
) é positiva, isso indica que as soluções crescem exponencialmente à medida que o tempo avança.
Resposta
O ponto crítico
é um foco instável.
Exercícios relacionados
Considere
e a curva
.
a) Encontre
a) Encontre
Calcule as integrais definidas e indefinidas.
;
Mostre que
não existe.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.