Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O objetivo aqui é classificar o ponto crítico
desse sistema, ou seja, descobrir que tipo de ponto ele é e se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos precisar analisar os autovalores da matriz que está multiplicando
. Esses autovalores vão nos dar informações sobre o comportamento do sistema perto desse ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema, que é:
Para encontrar os autovalores dessa matriz, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a equação característica substituindo os valores:
O que dá:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Os termos que envolvem
se cancelam:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação:
Encontramos dois autovalores complexos puros:
e
.
Passo 6
Com esses autovalores, podemos classificar o ponto crítico:
-
Tipo do Ponto Crítico: Como os autovalores são complexos conjugados e não possuem parte real (
), o ponto é chamado de Centro. -
Estabilidade: Como a parte real dos autovalores é zero, o sistema não converge nem diverge das órbitas em torno do ponto crítico. Isso significa que o ponto é estável, mas não é assintoticamente estável nem instável.
Resposta
O ponto crítico
é um centro e é estável.
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Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Sendo
, mostre que
.
Calcule as integrais definidas e indefinidas.
;
Considere
e a curva
.
a) Encontre
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