Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[2, 8], [-1, -2]] X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O objetivo aqui é classificar o ponto crítico desse sistema, ou seja, descobrir que tipo de ponto ele é e se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos precisar analisar os autovalores da matriz que está multiplicando . Esses autovalores vão nos dar informações sobre o comportamento do sistema perto desse ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema, que é:
Para encontrar os autovalores dessa matriz, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica substituindo os valores:
O que dá:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Os termos que envolvem se cancelam:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação:
Encontramos dois autovalores complexos puros: e .

Passo 6

Com esses autovalores, podemos classificar o ponto crítico:
  • Tipo do Ponto Crítico: Como os autovalores são complexos conjugados e não possuem parte real ( ), o ponto é chamado de Centro.
  • Estabilidade: Como a parte real dos autovalores é zero, o sistema não converge nem diverge das órbitas em torno do ponto crítico. Isso significa que o ponto é estável, mas não é assintoticamente estável nem instável.

Resposta

O ponto crítico é um centro e é estável.

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Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[2 3] [2 1]] X
Sendo z=f(x-y)y, mostre que z+y partial zpartial x+y partial zpartial y=0.
Calcule as integrais definidas e indefinidas.
integral3^4 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x;
Considere f(x, y) = x^2 + y^2 e a curva (x(t), y(t)) = (e^t, cos(t)).
a) Encontre g(t) = f(x(t), y(t))