Calcule as integrais definidas.
integral-1^0 2 x^65 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que é integral-1^0 2 x^65 , dx. Essa questão está no campo do Cálculo Integral, especificamente sobre como calcular integrais definidas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que estamos integrando é 2 x^65. A constante 25 pode ser fatorada para fora da integral, deixando a integral mais simples de resolver:
25 integral-1^0 x^6 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar x^6 em relação a x. A regra básica de integração para uma função potência x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. No nosso caso, n = 6, então:
integral x^6 , dx = x^77 + C

Passo 4

Aplicando os limites da integral definida de -1 a 0, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada nos pontos superiores e inferiores e subtrair:
[ x^77 ]-1^0 = 0^77 - (-1)^77 = 07 - -17 = 0 + 17 = 17

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado da integral pela constante que fatoramos lá no início:
25 times 17 = 235

Resposta

O valor da integral definida é 235.

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