Calcule as integrais definidas.
integral2^5 100x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular a integral definida de no intervalo de até . Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. A função que vamos integrar é , que podemos reescrever como . Isso facilita na hora de aplicar as regras de integração.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra básica de integração para potências de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C :
onde e é a constante de integração. No nosso caso, , então podemos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Aplicando a regra de integração, temos:
integral 100x^-4 dx = 100 cdot x^-4+1-4+1 + C = 100 cdot x^-3-3 + C = -1003x^-3 + C
Podemos reescrever -1003 cdot 1x^3 + C como , então a expressão fica:

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida, precisamos aplicar os limites de integração de 2 a 5. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos pontos 5 e 2 e depois subtrair:
[ -1003 cdot 1x^3 ]2^5 = -1003 cdot ( 15^3 - 12^3 )

Passo 6

Calculando as potências:
5^3 = 125 e 2^3 = 8
Substituindo na expressão:
-1003 cdot ( 1125 - 18 ) = -1003 cdot ( 8 - 1251000 ) = -1003 cdot ( -1171000 )

Passo 7

Simplificando os sinais e multiplicando:
-1003 cdot ( - 1171000 ) = 1003 cdot 1171000 = 117003000 = 11730 = 3910 = 3,9

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é .

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