Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral 6 x(x^2+5)^(78) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral 6x(x^2+5)^78 dx usando o método da substituição. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma função dentro da integral que possamos usar como substituição, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão composta dentro da integral, especificamente x^2 + 5. Vamos considerar essa parte como nossa função de substituição. Então, vamos definir:
u = x^2 + 5
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Percebemos que temos um x , dx na integral original, então podemos resolver para x , dx:
x , dx = du2

Passo 3

Agora, vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral 6x(x^2+5)^78 dx = integral 6u^78 cdot du2
Simplificando os coeficientes:
= 3 integral u^-78 du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^-78. Lembrando que a integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração, desde que n neq -1.
Aplicando isso:
integral u^-78 du = u^-78 + 1-78 + 1 + C = u^1818 + C = 8u^18 + C
Multiplicando pelo coeficiente que tínhamos antes:
3 cdot 8u^18 + C = 24u^18 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão em termos de x:
24u^18 + C = 24(x^2 + 5)^18 + C

Resposta

A integral integral 6x(x^2+5)^78 dx é igual a:
24(x^2 + 5)^18 + C

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