Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada
que muda de definição quando o ponto
é diferente de
ou igual a
. O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua nesse ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de funções de duas variáveis e como verificar o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, que no caso é 0.
Passo 3
Então, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Vamos analisar este limite usando coordenadas polares, que ajudam a simplificar a expressão quando nos aproximamos do ponto
.
Passo 4
Em coordenadas polares, a gente substitui
e
, onde
é a distância até o ponto
e
é o ângulo. Substituindo na função, temos:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, para encontrar o limite quando
tende a 0, observamos que
e
são funções limitadas, ou seja, seus valores ficam entre -1 e 1. Então:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 6
Como o limite de
quando
tende a
é 0, e o valor da função em
também é 0, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.
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