Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada que muda de definição quando o ponto é diferente de ou igual a . O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua nesse ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de funções de duas variáveis e como verificar o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, que no caso é 0.

Passo 3

Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função é dada por:
Vamos analisar este limite usando coordenadas polares, que ajudam a simplificar a expressão quando nos aproximamos do ponto .

Passo 4

Em coordenadas polares, a gente substitui e , onde é a distância até o ponto e é o ângulo. Substituindo na função, temos:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, para encontrar o limite quando tende a 0, observamos que e são funções limitadas, ou seja, seus valores ficam entre -1 e 1. Então:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 6

Como o limite de quando tende a é 0, e o valor da função em também é 0, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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