Calcule as integrais definidas.
integral-1^0 2 x+3 x^25 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral definida, que é uma ferramenta do cálculo integral usada para encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de integração de funções polinomiais e usar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. A função que vamos integrar é 2x + 3x^25 = 25x + 35x^2 . Podemos dividir cada termo pelo 5 para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral definida com esses termos simplificados:
integral-1^0 ( 25x + 35x^2 ) dx
A integração de uma soma é a soma das integrais, então podemos separar em duas integrais:
25 integral-1^0 x , dx + 35 integral-1^0 x^2 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de integral x , dx = x^22 em relação a integral x^2 , dx = x^33 é :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Aplicando os limites de integração de -1 a 0 em cada integral:
25 [ x^22 ]-1^0 + 35 [ x^33 ]-1^0

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
25 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 25 ( 0 - 12 ) = 25 times (-12) = -15
  1. Segundo termo:
35 ( 0^33 - (-1)^33 ) = 35 ( 0 - (-13) ) = 35 times 13 = 15

Resposta

Somando os dois resultados:
-15 + 15 = 0
Portanto, o valor da integral definida é 0.

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