Calcule as integrais definidas.
integral6^8(8 x^2+2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Esse exercício está no assunto de cálculo integral, especificamente sobre como calcular integrais de funções polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como encontrar a antiderivada (ou primitiva) das funções envolvidas e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo dentro da integral. Lembra que para integrar integral 8x^2 dx = 8 cdot x^33 = 83x^3 , a gente faz integral 2x dx = 2 cdot x^22 = x^2 .
Para integral 1 dx = x :
Para :
Para :

Passo 3

Agora, juntamos todas as antiderivadas que encontramos:
integral (8x^2 + 2x + 1) dx = 83x^3 + x^2 + x + C
Como estamos lidando com uma integral definida, o “+ C” (constante de integração) não precisa ser considerado.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, que são 6 e 8. Isso significa que vamos calcular a antiderivada em 8 e em 6 e depois subtrair os resultados.
Primeiro, em 8:
83(8)^3 + (8)^2 + 8 = 83 cdot 512 + 64 + 8 = 40963 + 64 + 8
= 40963 + 1923 + 243 = 43123
Depois, em 6:
83(6)^3 + (6)^2 + 6 = 83 cdot 216 + 36 + 6 = 17283 + 36 + 6
= 576 + 36 + 6 = 618

Resposta

Agora, subtraímos o valor em 6 do valor em 8:
43123 - 618 = 4312 - 18543 = 24583 approx 819,33
Portanto, o valor da integral definida é aproximadamente 819,33.

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