Calcule as integrais definidas: integral0^pi 3+cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral definida: integral0^pi (3 + cos(x)) , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e como integrar funções trigonométricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral definida. Básicamente, ela nos dá a área sob a curva da função entre os limites de integração, que nesse caso são de 0 a pi.

Passo 3

A integral que temos é a soma de duas funções: uma constante 3 e o cosseno de x, cos(x). Podemos, então, calcular a integral de cada uma separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos começar integrando a constante 3. A integral de uma constante a em relação a x é a cdot x. Então:
integral 3 , dx = 3x

Passo 5

Agora, vamos integrar cos(x). A integral de cos(x) em relação a x é sin(x). Ou seja:
integral cos(x) , dx = sin(x)

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
integral (3 + cos(x)) , dx = 3x + sin(x) + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração C.

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a pi. Isso significa que vamos calcular:
[3x + sin(x)]0^pi = (3pi + sin(pi)) - (3 cdot 0 + sin(0))

Passo 8

Sabemos que sin(pi) = 0 e sin(0) = 0, então simplificando:
(3pi + 0) - (0 + 0) = 3pi

Resposta

A integral definida integral0^pi (3 + cos(x)) , dx é igual a 3pi.

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