Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva de intersecção do cone e o plano no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva de intersecção entre um cone e um plano, no ponto específico . A matéria envolvida inclui geometria espacial e cálculo de derivadas para encontrar vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam e como determinar a direção da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de intersecção entre o cone e o plano . Para isso, igualamos as duas expressões para :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a relação entre e , podemos parametrizar a curva de intersecção. Vamos usar como parâmetro :
Passo 5
Para encontrar a reta tangente no ponto , precisamos calcular a derivada da parametrização em relação a e avaliar no valor de que corresponde a esse ponto. Vamos achar o valor de :
Passo 6
Agora, calculamos as derivadas das funções parametrizadas:
Avaliaremos essas derivadas no :
Passo 7
O vetor tangente à curva no ponto é dado pelas derivadas calculadas:
Passo 8
Finalmente, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e o vetor tangente: