Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva de intersecção do cone e o plano no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva de intersecção entre um cone e um plano, no ponto específico . A matéria envolvida inclui geometria espacial e cálculo de derivadas para encontrar vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam e como determinar a direção da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de intersecção entre o cone e o plano . Para isso, igualamos as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a relação entre e , podemos parametrizar a curva de intersecção. Vamos usar como parâmetro :

Passo 5

Para encontrar a reta tangente no ponto , precisamos calcular a derivada da parametrização em relação a e avaliar no valor de que corresponde a esse ponto. Vamos achar o valor de :

Passo 6

Agora, calculamos as derivadas das funções parametrizadas:
Avaliaremos essas derivadas no :

Passo 7

O vetor tangente à curva no ponto é dado pelas derivadas calculadas:

Passo 8

Finalmente, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e o vetor tangente:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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