Fazendo a mudança de variável adequada, resolva: (0.5) integral 1x-alpha d x, onde alpha in Re

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para resolver a integral , onde é um número real. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de mudança de variável para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma mudança de variável. Basicamente, substituímos uma parte da integral por uma nova variável para simplificar a expressão. No nosso caso, temos a função , então vamos escolher .

Passo 3

Com a substituição dudx = 1 Rightarrow du = dx , precisamos também substituir o diferencial em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Portanto, .

Passo 4

Agora, substituímos 0.5 integral 1x - alpha , dx = 0.5 integral 1u , du e na integral original:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 5

A próxima etapa é integrar integral 1u , du = ln|u| + C em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 0.5 integral 1u , du = 0.5 ln|u| + C = 0.5 ln|x - alpha| + C de volta em termos de :

Resposta

A integral resolvida é:
0.5 ln|x - alpha| + C

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