Calcule as integrais definidas: .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral definida . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão , percebemos que se a gente deixar , então a derivada de em relação a é . Isso é perfeito porque temos exatamente na integral original.

Passo 3

Com a substituição e , vamos também ajustar os limites da integral:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, a integral original passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é , então temos:
Como é uma integral definida, avaliaremos de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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Seja e . Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .