Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que a população de uma certa comunidade está crescendo a uma taxa proporcional ao número de pessoas que tem nesse momento. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como montar e resolver uma equação diferencial que representa esse crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que foi dado em uma equação matemática. Se a taxa de crescimento da população é proporcional ao número atual de pessoas, podemos escrever isso assim:
Aqui, representa a população e é a constante de proporcionalidade que determina a rapidez do crescimento.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos:

Passo 4

Integrando ambos os lados, temos:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Como é apenas outra constante, podemos renomeá-la para (a população inicial):

Resposta

A população da comunidade em qualquer instante é dada por:
Onde:
  • é a população inicial,
  • é a constante de proporcionalidade,
  • é o tempo.

Exercícios relacionados