Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala que a população de uma certa comunidade está crescendo a uma taxa proporcional ao número de pessoas que tem nesse momento. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como montar e resolver uma equação diferencial que representa esse crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que foi dado em uma equação matemática. Se a taxa de crescimento da população é proporcional ao número atual de pessoas, podemos escrever isso assim:
Aqui,
representa a população e
é a constante de proporcionalidade que determina a rapidez do crescimento.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos:
Passo 4
Integrando ambos os lados, temos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas outra constante, podemos renomeá-la para
(a população inicial):
Resposta
A população da comunidade em qualquer instante
é dada por:
Onde:
-
é a população inicial, -
é a constante de proporcionalidade, -
é o tempo.