Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que a população de uma certa comunidade está crescendo a uma taxa proporcional ao número de pessoas que tem nesse momento. Isso faz parte da matéria de **Cálculo Diferencial**, mais especificamente sobre **Equações Diferenciais**. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como montar e resolver uma equação diferencial que representa esse crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que foi dado em uma equação matemática. Se a taxa de crescimento da população é proporcional ao número atual de pessoas, podemos escrever isso assim: Aqui, representa a população e é a constante de proporcionalidade que determina a rapidez do crescimento.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma **equação diferencial linear de primeira ordem** e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos:

Passo 4

Integrando ambos os lados, temos: Isso resulta em: Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados: Como é apenas outra constante, podemos renomeá-la para (a população inicial):

Resposta

A população da comunidade em qualquer instante é dada por: Onde: - é a população inicial, - é a constante de proporcionalidade, - é o tempo.

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