Um força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 200 Ohms e a capacitância de farad e . Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito R-C em série com uma força eletromotriz de 100 volts, uma resistência de 200 Ohms e uma capacitância de farads. Além disso, inicialmente, a carga é zero. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos para determinar como a carga no capacitor varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre tensão, resistência e capacitância em um circuito R-C. A lei de Kirchhoff das tensões nos diz que a soma das quedas de tensão na resistência e no capacitor deve ser igual à força eletromotriz aplicada.
Matematicamente, isso fica assim:
onde , e .

Passo 3

Sabemos que a corrente no circuito é a taxa de variação da carga em relação ao tempo:
Substituindo na equação de Kirchhoff:
Com e , temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para . Primeiro, vamos rearranjar:
Dividindo tudo por 200 para simplificar:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
onde e . A solução geral dessa equação é:
Dado que , substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Isso nos dá a carga no capacitor em função do tempo.

Resposta

A carga no capacitor em função do tempo é:

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(e)