Um força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 200 Ohms e a capacitância de
farad e
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito R-C em série com uma força eletromotriz de 100 volts, uma resistência de 200 Ohms e uma capacitância de
farads. Além disso, inicialmente, a carga
é zero. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos para determinar como a carga no capacitor varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre tensão, resistência e capacitância em um circuito R-C. A lei de Kirchhoff das tensões nos diz que a soma das quedas de tensão na resistência e no capacitor deve ser igual à força eletromotriz aplicada.
Matematicamente, isso fica assim:
onde
,
e
.
Passo 3
Sabemos que a corrente
no circuito é a taxa de variação da carga em relação ao tempo:
Substituindo na equação de Kirchhoff:
Com
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para
. Primeiro, vamos rearranjar:
Dividindo tudo por 200 para simplificar:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
onde
e
. A solução geral dessa equação é:
Dado que
, substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Isso nos dá a carga no capacitor em função do tempo.
Resposta
A carga no capacitor em função do tempo é:
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Calcule as integrais definidas:
.
Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.
Seja
e
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
P1. Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e)
(e)