Seja
e
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo
. A região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelas inequações
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método de discos, que envolve cálculo de integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A inequação
pode ser reescrita como
. Isso significa que
varia de
até
para cada valor de
no intervalo que satisfaz
e
.
Passo 3
Para encontrar os limites de integração, vamos determinar onde a curva
intercepta os eixos.
- Quando
:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
de um sólido de revolução em torno do eixo
é:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos somar os termos:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação do conjunto
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.