Seja A = {(x, y) ∈ R² | y ≥ 0, x ≥ 0} e 2 x^2 + y <= 2. Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas inequações , e . Para resolver isso, vamos usar o método de discos, que envolve cálculo de integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A inequação pode ser reescrita como . Isso significa que varia de até para cada valor de no intervalo que satisfaz e .

Passo 3

Para encontrar os limites de integração, vamos determinar onde a curva intercepta os eixos.
  • Quando :
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume de um sólido de revolução em torno do eixo é:
Aqui, , e .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral termo a termo:
Portanto:

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração e :
Simplificando:

Passo 8

Vamos somar os termos:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação do conjunto em torno do eixo é unidades cúbicas.

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