Calcule as integrais definidas: integral0^1 4 x(2 x^2+1)^6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso está dentro do estudo de Cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável), que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável u = 2x^2 + 1 . Observando a integral, temos a expressão dentro do parênteses elevada à sexta potência: . Essa parece ser uma boa candidata para .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x em relação a du = 4x , dx , que nos dará :
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos exatamente integral0^1 4x(2x^2+1)^6 dx = integral (u)^6 du , que é igual a . Isso facilita a substituição na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^6 du = u^77 + C em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos considerar a constante de integração .

Passo 6

Por fim, substituímos u^77 = (2x^2 + 1)^77 de volta para termos em :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de (2x^2 + 1)^77 |0^1 = (2(1)^2 + 1)^77 - (2(0)^2 + 1)^77 a = (2 + 1)^77 - (0 + 1)^77 :
= 3^77 - 17
= 21877 - 17 = 21867
= 312 , (já que (2186 div 7 = 312))
á

Resposta

O valor da integral definida é .

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