Calcule as Integrais definidas.
integral0^1 x raiz1-x^2 d x d integral0^ln raiz3 e^x1+e^2 x d x g cdot integral0^1 x^3raizx^4+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver três integrais definidas aqui. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição e reconhecimento de derivadas. Vamos precisar usar substituição trigonométrica, substituição simples e reconhecimento de funções derivadas para integrar essas expressões. Bora lá!

Passo 2

Primeira Integral: x , dx = -12 du
Aqui, vamos usar a substituição trigonométrica. Vamos deixar integral x raiz1 - x^2 , dx = -12 integral raizu , du , então -12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2 . Precisamos reorganizar para encontrar -13 (1 - x^2)^3/2 :
[ -13 (1 - x^2)^3/2 ]0^1 = ( -13 (0)^3/2 ) - ( -13 (1)^3/2 ) = 0 + 13 = 13
Agora, substituímos na integral:
Integrando , que é :
Voltando para :
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:

Passo 3

Segunda Integral: integral u1 + u^2 cdot duu = integral 11 + u^2 , du = tan^-1(u) + C
Vamos simplificar o denominador. Note que tan^-1(e^x) , então podemos usar a substituição tan^-1(e^ln raiz3) - tan^-1(e^0) = tan^-1(raiz3) - tan^-1(1) = pi3 - pi4 = pi12 . Assim, , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :
Agora, aplicamos os limites de 0 a :

Passo 4

Terceira Integral: integral x^3raizx^4+9 , dx = 14 integral 1raizu , du = 14 cdot 2 raizu = 12 raizu
Aqui, vamos usar a substituição 12 raizx^4 + 9 . Então, [ 12 raizx^4 + 9 ]0^1 = 12 raiz1 + 9 - 12 raiz0 + 9 = 12 cdot raiz10 - 12 cdot 3 = raiz102 - 32 , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:

Resposta

As integrais definidas são:

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