Calcule as Integrais Indefinidas.
integral sen(2 x+1)cos ^2(2 x+1) d x h cdot integral x(x-1)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais indefinidas aqui! Primeiro, temos , e depois . Vamos precisar usar substituição trigonométrica para a primeira e a regra de integração por partes ou substituição para a segunda. Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: . Aqui, a ideia é simplificar a expressão usando uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Observamos que o numerador é e o denominador é . Vamos fazer uma substituição onde . Assim, precisamos encontrar .

Passo 4

Calculando du = ddx[cos(2x + 1)] , dx = -2sen(2x + 1) , dx :
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral original:

Passo 6

Integrando -12 integral u^-2 , du = -12 ( u^-1-1 ) + C = 12u + C :
12cos(2x + 1) + C
Voltando para :

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: . Aqui, podemos usar a substituição para simplificar a expressão.

Passo 8

Vamos fazer , então , e .

Passo 9

Substituindo na integral:
integral x(u)^10 , du = integral (u + 1)u^10 , du = integral (u^11 + u^10) , du

Passo 10

Integrando termo a termo:
integral u^11 , du + integral u^10 , du = u^1212 + u^1111 + C
Voltando para (x - 1)^1212 + (x - 1)^1111 + C :

Resposta

As integrais indefinidas são:
e
integral sen(2x + 1)cos^2(2x + 1) , dx = 12cos(2x + 1) + C

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