Calcule as integrais definidas:
integral0^4 raiz2 t+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde trabalhamos com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição (mudança de variável) para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que queremos reescrever toda a integral em termos de .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de du = 2 , dt em relação a para encontrar . Temos:
Ou seja, .

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração para a variável u = 2(0) + 1 = 1 . Quando u = 2(4) + 1 = 9 :
E quando :
Então, os novos limites de integração são de até .

Passo 5

Substituímos tudo na integral original:
integral0^4 raiz2 t+1 , dt = integral1^9 raizu cdot du2 = 12 integral1^9 raizu , du
Isso simplifica nossa integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de 1 a 9.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
12 [ 23 u^3/2 ]1^9 = 13 [ u^3/2 ]1^9
Calculamos agora para e .

Passo 8

Calculando:
u^3/2 = (raizu)^3
Para 9^3/2 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27 :
1^3/2 = (raiz1)^3 = 1^3 = 1
Para :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
13 (27 - 1) = 13 times 26 = 263

Resposta

O valor da integral definida é .

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