Calcule as integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde trabalhamos com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição (mudança de variável) para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que queremos reescrever toda a integral em termos de .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar . Temos:
Ou seja, .

Passo 4

Precisamos também mudar os limites de integração para a variável . Quando :
E quando :
Então, os novos limites de integração são de até .

Passo 5

Substituímos tudo na integral original:
Isso simplifica nossa integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de 1 a 9.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
Calculamos agora para e .

Passo 8

Calculando:
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

O valor da integral definida é .

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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