Calcule as integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e potenciação. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Olhando para , vemos que é uma boa candidata para substituição porque sua derivada está relacionada ao outro fator da integral, que é .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Isso nos dá uma relação direta entre e , que é exatamente o que temos na nossa integral.

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para para resolver :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Precisamos mudar os limites de integração para . Quando :
Quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Como estamos fazendo uma integral definida, a constante não é necessária. Então, aplicamos os limites de integração:

Resposta

Calculando os valores:
Então:
Portanto, a integral definida é .

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