Calcule as integrais definidas:
integral0^1 y(y^2+1)^5 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais e potenciação. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Olhando para , vemos que é uma boa candidata para substituição porque sua derivada está relacionada ao outro fator da integral, que é .

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = 2y , dy . Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Isso nos dá uma relação direta entre e , que é exatamente o que temos na nossa integral.

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para y , dy = du2 para resolver integral0^1 y(y^2+1)^5 dy = integralu(0)^u(1) (u)^5 (du2) :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Precisamos mudar os limites de integração para u = 0^2 + 1 = 1 . Quando u = 1^2 + 1 = 2 :
12 integral1^2 u^5 du
Quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^5 du = u^66 + C em relação a 12 [ u^66 ]1^2 = 112 ( 2^6 - 1^6 ) :
Como estamos fazendo uma integral definida, a constante não é necessária. Então, aplicamos os limites de integração:

Resposta

Calculando os valores:
2^6 = 64 e 1^6 = 1
Então:
112 (64 - 1) = 6312 = 214
Portanto, a integral definida é .

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