Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação vetorial dada por . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano cartesiano com coordenadas . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa curva e indicar com setas a direção em que está aumentando.

Passo 2

Vamos interpretar as componentes da equação vetorial:
  • A primeira componente, , é a coordenada . Ela varia entre -1 e 1 de forma periódica conforme aumenta.
  • A segunda componente, , é a coordenada . Ela aumenta continuamente à medida que cresce.
Isso significa que, à medida que aumenta, o ponto se move para cima no eixo , enquanto oscila para os lados no eixo devido à função seno.

Passo 3

Para desenhar o gráfico, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Plotando esses pontos, vemos que a curva forma uma espécie de “senoide” que se estende para cima no eixo .

Passo 4

Agora, vamos indicar a direção em que cresce. Observando os pontos calculados:
  • De para : movimento para a direita e para cima.
  • De para : movimento para a esquerda e para cima.
  • De para : movimento para a esquerda e para cima.
  • E assim por diante.
Isso mostra que à medida que aumenta, a curva se move para cima no eixo , zig-zagueando entre e .

Resposta

O gráfico da curva é uma senoide que se estende indefinidamente para cima no eixo , oscilando entre e . As setas no gráfico indicam que, conforme aumenta, o ponto se move para cima, seguindo o padrão da função seno.

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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