Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma curva que está descrita por uma equação vetorial. O conteúdo aqui envolve equações paramétricas e vetores. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação vetorial dada em uma representação gráfica e indicar a direção em que o parâmetro cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação vetorial fornecida:
Isso significa que a posição da curva para um valor qualquer de é dada pelas coordenadas e . Em outras palavras, para cada , temos um ponto no plano.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de . Vamos escolher alguns valores de e ver onde eles nos levam:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos ajudam a visualizar como a curva se comporta no plano.

Passo 4

Agora, vamos observar a relação entre e . Sabemos que e . Podemos tentar eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e :
Substituindo na equação de :
Então, a relação entre e é , o que nos indica que a curva tem uma forma de parábola deformada.

Passo 5

Por fim, vamos indicar a direção em que cresce. Observando os pontos que calculamos:
  • À medida que aumenta de negativo para positivo, aumenta de para , e aumenta de para , passando pelo ponto .
Isso significa que a direção da curva vai de esquerda para a direita, passando pelo ponto de origem.

Resposta

A curva descrita pela equação vetorial é uma parábola deformada que se estende da esquerda para a direita no plano cartesiano. Ao esboçar, a direção do crescimento do parâmetro vai do ponto passando por até . As setas no gráfico devem indicar esse movimento da esquerda para a direita conforme aumenta.

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Calcule as integrais definidas:
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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