Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma curva que está descrita por uma equação vetorial. O conteúdo aqui envolve equações paramétricas e vetores. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação vetorial dada em uma representação gráfica e indicar a direção em que o parâmetro
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação vetorial fornecida:
Isso significa que a posição da curva para um valor qualquer de
é dada pelas coordenadas
e
. Em outras palavras, para cada
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos para diferentes valores de
. Vamos escolher alguns valores de
e ver onde eles nos levam:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Esses pontos nos ajudam a visualizar como a curva se comporta no plano.
Passo 4
Agora, vamos observar a relação entre
e
. Sabemos que
e
. Podemos tentar eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
e
:
Substituindo na equação de
:
Então, a relação entre
e
é
, o que nos indica que a curva tem uma forma de parábola deformada.
Passo 5
Por fim, vamos indicar a direção em que
cresce. Observando os pontos que calculamos:
- À medida que
aumenta de negativo para positivo, aumenta de para , e aumenta de para , passando pelo ponto .
Isso significa que a direção da curva vai de esquerda para a direita, passando pelo ponto de origem.
Resposta
A curva descrita pela equação vetorial
é uma parábola deformada que se estende da esquerda para a direita no plano cartesiano. Ao esboçar, a direção do crescimento do parâmetro
vai do ponto
passando por
até
. As setas no gráfico devem indicar esse movimento da esquerda para a direita conforme
aumenta.
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Calcule as integrais definidas:
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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