Calcule as integrais definidas:
(a) integral0^1 raizx d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos que calcular a integral definida de √x, ou seja, . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções com potências e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função integral0^1 x^1/2 , dx de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é o mesmo que . Assim, a integral fica:
Para integrar , usamos a regra de potência para integrais, que diz:
onde é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante .

Passo 3

Aplicando a regra de potência na nossa integral:
integral0^1 x^1/2 , dx = [ x^1/2 + 11/2 + 1 ]0^1
Simplificando os exponentes e os denominadores:
= [ x^3/23/2 ]0^1
Multiplicando pelo inverso do denominador:
= [ 23 x^3/2 ]0^1

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração substituindo = 23 (1)^3/2 - 23 (0)^3/2 por 1 e por 0:
= 23 cdot 1 - 23 cdot 0
Calculando os valores:
= 23 - 0

Resposta

O valor da integral definida é .

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