Calcule as integrais:
§ integral sen x cos ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que é muito útil quando temos produtos de senos e cossenos com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos uma potência ímpar de cosseno, . Quando isso acontece, uma boa estratégia é separar um fator de e expressar o restante em termos de . Assim, podemos fazer a substituição mais fácil.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um integral sen x cos^5 x , dx = integral sen x cos^4 x cdot cos x , dx :

Passo 4

Agora, vamos lembrar que cos^4 x = (1 - sen^2 x)^2 pode ser escrita como . E sabemos que . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora fazemos a substituição: seja . Então, a derivada de du = -2 sen x cos x , dx em relação a é:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, integramos -12 cdot u^33 + C = -u^36 + C :

Passo 10

Voltando para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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