Calcule as integrais definidas:
(n) integral1^0 s^2(raiz[3]s-raizs) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria aqui é Cálculo, especificamente sobre integrais definidas. Vamos precisar lembrar das propriedades das integrais e como lidar com integrais de funções polinomiais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Note que o limite superior é 1 e o limite inferior é 0. Uma propriedade importante das integrais é que inverter os limites de integração muda o sinal da integral. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral1^0 s^2(raiz[3]s-raizs) , ds = -integral0^1 s^2(raiz[3]s-raizs) , ds

Passo 3

Agora, vamos distribuir s^2(raiz[3]s-raizs) = s^2 cdot raiz[3]s - s^2 cdot raizs dentro do parênteses:
s^2 cdot s^1/3 - s^2 cdot s^1/2 = s^2 + 1/3 - s^2 + 1/2 = s^7/3 - s^5/2
Lembrando que e , temos:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
-integral0^1 ( s^7/3 - s^5/2 ) , ds
Vamos separar a integral em duas partes:
-( integral0^1 s^7/3 , ds - integral0^1 s^5/2 , ds )

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. A regra para integrar integral s^n , ds = s^n+1n+1 + C em relação a s^7/3 + 17/3 + 1 = s^10/310/3 = 310 s^10/3 é:
s^5/2 + 15/2 + 1 = s^7/27/2 = 27 s^7/2
onde é a constante de integração.
Aplicando isso, temos:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
integral0^1 s^7/3 , ds = 310 (1^10/3 - 0^10/3) = 310 (1 - 0) = 310
integral0^1 s^5/2 , ds = 27 (1^7/2 - 0^7/2) = 27 (1 - 0) = 27

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
-( 310 - 27 )
Para simplificar, encontraremos um denominador comum, que é 70:
-( 2170 - 2070 ) = -( 170 ) = -170

Resposta

A integral definida é igual a .

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