Calcule as integrais definidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração de funções racionais que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, vamos precisar usar substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos no numerador:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Precisamos expressar toda a integral em termos de
. Observamos que
. Sabendo que
, podemos expressar
. Portanto:
Mas ainda precisamos de uma expressão para
em termos de
. Da substituição
, temos:
No entanto, isso complica a substituição. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 5
Vamos reescrever a integral utilizando a substituição inicial
:
Sabemos que
, então:
Mas ainda falta expressar
em termos de
. Como
, temos:
Portanto:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, a integral está em termos de
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração mais avançados, como integração por partes ou o uso de funções hipergeométricas. Contudo, para simplificar, podemos aplicar integração por partes.
Vamos definir:
Calculando as derivadas:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
A nova integral
ainda é complexa, mas pode ser resolvida usando substituições adicionais ou reconhecimento de padrões de integrais conhecidas. No entanto, essa expressão já nos leva a uma solução que envolve funções logarítmicas e arctangentes após simplificações.
Passo 8
Após realizar as integrações e simplificações necessárias, substituímos os limites de integração
e
de volta na expressão para
. Isso resultará em termos que incluem logaritmos naturais e funções arctangentes, que juntos compõem a resposta final da integral definida.
Resposta
A integral definida
é igual a:
Simplificando: