A Função Erro dada por
é uma importante função utilizada em estatística, probabilidade e engenharia. Mostre que a função
satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a função
satisfaz a equação diferencial
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas e entender a definição da função erro (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função erro:
Ela aparece muito em estatística e probabilidade, especialmente em distribuições normais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Aqui, temos:
Passo 4
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Perceba que
, então substituindo:
Resposta
Pronto! Mostramos que
, conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Em um circuito RC série, a carga em um capacitor varia de acordo com a equação diferencial
onde q é a carga, t é o tempo,
é a resistência,
é a capacitância e V é a tensão da fonte. Determine a carga em função do tempo, considerando que inicialmente o capacitor está descarregado.
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;
Calcule as integrais definidas.
A função
tem a propriedade que:
e
. Calcule
.