A Função Erro dada por
erf(x)=2pi integral0^x e^-t^2 d t
é uma importante função utilizada em estatística, probabilidade e engenharia. Mostre que a função y=e^x^2 erf(x) satisfaz a equação diferencial
d yd x=2 x y+2raizpi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a função satisfaz a equação diferencial . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas e entender a definição da função erro ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função erro:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 dt
Ela aparece muito em estatística e probabilidade, especialmente em distribuições normais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que se , então .
Aqui, temos:

Passo 4

Primeiro, vamos derivar dudx = e^x^2 cdot 2x = 2x e^x^2 :

Passo 5

Agora, vamos derivar ddx erf(x) = 2raizpi e^-x^2 . Sabemos que:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
dydx = dudx cdot v + u cdot dvdx
Substituindo os valores que encontramos:
dydx = (2x e^x^2) cdot erf(x) + e^x^2 cdot ( 2raizpi e^-x^2 )

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
dydx = 2x e^x^2 erf(x) + 2raizpi
Perceba que dydx = 2x y + 2raizpi , então substituindo:

Resposta

Pronto! Mostramos que , conforme solicitado.

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