Em um circuito RC série, a carga em um capacitor varia de acordo com a equação diferencial
onde q é a carga, t é o tempo,
é a resistência,
é a capacitância e V é a tensão da fonte. Determine a carga em função do tempo, considerando que inicialmente o capacitor está descarregado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RC série onde a carga no capacitor varia conforme uma equação diferencial. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e circuitos elétricos básicos, especificamente resistores ® e capacitores ©. Para resolver, vamos precisar entender como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui,
é a carga no capacitor,
é o tempo,
é a resistência,
é a capacitância e
é a tensão da fonte.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai usar um método chamado “fator integrante”. O objetivo é transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 4
Vamos identificar os termos da equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 5
Agora, vamos calcular o fator integrante (
):
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial que o capacitor está descarregado inicialmente, ou seja,
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo o valor de
na expressão de
:
Resposta
A carga no capacitor em função do tempo é
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dada por
;
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