Em um circuito RC série, a carga em um capacitor varia de acordo com a equação diferencial
dqt + q / (R * C) = V / R
onde q é a carga, t é o tempo, R é a resistência, C é a capacitância e V é a tensão da fonte. Determine a carga em função do tempo, considerando que inicialmente o capacitor está descarregado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RC série onde a carga no capacitor varia conforme uma equação diferencial. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e circuitos elétricos básicos, especificamente resistores ® e capacitores ©. Para resolver, vamos precisar entender como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, é a carga no capacitor, é o tempo, é a resistência, é a capacitância e é a tensão da fonte.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai usar um método chamado “fator integrante”. O objetivo é transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 4

Vamos identificar os termos da equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:

Passo 5

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ):

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
Agora, isolamos :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial que o capacitor está descarregado inicialmente, ou seja, :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo o valor de na expressão de :

Resposta

A carga no capacitor em função do tempo é

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