O rádio se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida é de 1590 anos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá dizendo. A gente tem um rádio que se desintegra seguindo uma taxa proporcional à massa que existe a cada instante. Isso faz parte da matéria de decadência radioativa. O que precisamos aqui é entender como calcular a constante de decaimento usando a meia-vida do rádio, que é de 1590 anos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da decadência radioativa. A massa restante
após um tempo
é dada por:
Onde:
-
é a massa inicial, -
é a constante de decaimento, -
é o tempo.
Essa equação mostra como a quantidade de rádio diminui exponencialmente ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos usar a meia-vida para encontrar a constante
. A meia-vida
é o tempo que leva para metade da massa inicial se desintegrar. Então, quando
,
.
Substituindo na fórmula:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Para resolver essa equação para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
Substituindo
anos na fórmula:
Então, a constante de decaimento do rádio é aproximadamente 0,000436 ano⁻¹.
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Um corpo à temperatura de
é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de
. Se, após 5 minutos, a temperatura do corpo é de
, determinar:
Calcule:
Dica: Faça
ou
Calcule as integrais definidas:
.