O rádio se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida é de 1590 anos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá dizendo. A gente tem um rádio que se desintegra seguindo uma taxa proporcional à massa que existe a cada instante. Isso faz parte da matéria de decadência radioativa. O que precisamos aqui é entender como calcular a constante de decaimento usando a meia-vida do rádio, que é de 1590 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da decadência radioativa. A massa restante após um tempo é dada por:
Onde:
  • é a massa inicial,
  • é a constante de decaimento,
  • é o tempo.
Essa equação mostra como a quantidade de rádio diminui exponencialmente ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos usar a meia-vida para encontrar a constante . A meia-vida é o tempo que leva para metade da massa inicial se desintegrar. Então, quando , .
Substituindo na fórmula:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Para resolver essa equação para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:
Finalmente, isolamos :

Resposta

Substituindo anos na fórmula:
Então, a constante de decaimento do rádio é aproximadamente 0,000436 ano⁻¹.

Exercícios relacionados

Um corpo à temperatura de é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de . Se, após 5 minutos, a temperatura do corpo é de , determinar:
Calcule: Dica: Faça ou
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Calcule as integrais definidas: .