Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: “Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).” Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução de uma equação diferencial existe e é única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema basicamente diz que, se a função que está na nossa equação diferencial e sua derivada parcial em relação a y são contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução nessa região.
Matematicamente, se temos uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial , o teorema nos garante existência e unicidade da solução no intervalo onde e são contínuas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos o ponto inicial . Precisamos identificar o maior intervalo em torno de onde a função e sua derivada parcial em relaç��o a são contínuas.
Sem a expressão específica de , a gente assume que essas condições são satisfeitas em algum intervalo ao redor de . O tamanho desse intervalo dependerá de onde a função ou sua derivada possam deixarem de ser contínuas.

Resposta

Portanto, o maior intervalo no qual a solução certamente existe e é única é aquele ao redor de onde a função e sua derivada parcial em relação a permanecem contínuas. Sem informações adicionais sobre , não podemos especificar o intervalo exato, mas ele será centrado em dentro das fronteiras onde as condições de continuidade são mantidas.

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