Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: “Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).” Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução de uma equação diferencial existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema basicamente diz que, se a função que está na nossa equação diferencial e sua derivada parcial em relação a y são contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução nessa região.
Matematicamente, se temos uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial
, o teorema nos garante existência e unicidade da solução no intervalo onde
e
são contínuas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos o ponto inicial
. Precisamos identificar o maior intervalo em torno de
onde a função
e sua derivada parcial em rela�o a
são contínuas.
Sem a expressão específica de
, a gente assume que essas condições são satisfeitas em algum intervalo ao redor de
. O tamanho desse intervalo dependerá de onde a função ou sua derivada possam deixarem de ser contínuas.
Resposta
Portanto, o maior intervalo no qual a solução certamente existe e é única é aquele ao redor de
onde a função
e sua derivada parcial em relação a
permanecem contínuas. Sem informações adicionais sobre
, não podemos especificar o intervalo exato, mas ele será centrado em
dentro das fronteiras onde as condições de continuidade são mantidas.
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