Calcule as integrais definidas: integral0^3 x^2raizx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração de funções polinomiais e simplificação de expressões algébricas. Precisaremos saber como manipular potências de e aplicar as regras de integração básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função que queremos integrar: x^2x^3/2 = x^2 - 3/2 = x^1/2 . Sabemos que integral0^3 x^1/2 , dx . Então, podemos reescrever a fração assim:
Então, a integral original fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa nova integral: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . Para integrar uma função da forma integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 + C = x^3/23/2 + C = 23 x^3/2 + C , usamos a regra de potência da integração, que diz que:
onde é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 3, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites superiores e inferiores e subtrair:
23 x^3/2 |0^3 = 23 (3)^3/2 - 23 (0)^3/2

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 23 times 3raiz3 - 23 times 0 = 2raiz3 - 0 = 2raiz3 significa
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral definida é .

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