Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente vai calcular a integral iterada . Para isso, vamos precisar entender como quebrar a integral em partes menores e resolver passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. Ela serve pra calcular o volume de uma função em três dimensões. No nosso caso, a função que queremos integrar é , e os limites de integração estão definidos para , e .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Como não depende de , podemos tratar como uma constante durante essa integração.

Passo 4

Integrando em relação a , temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral do meio. Ficamos com:
Vamos simplificar isso antes de integrar.

Passo 6

Distribuindo na expressão , temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente em relação a :

Passo 8

Calculando os limites para cada parte:
Para :
Para :

Passo 9

Somando as duas partes:
Então, agora a integral ficou:

Passo 10

Finalmente, vamos integrar em relação a :

Resposta

Substituindo os limites, temos:
Então, o valor da integral tripla é .

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