Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente vai calcular a integral iterada . Para isso, vamos precisar entender como quebrar a integral em partes menores e resolver passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. Ela serve pra calcular o volume de uma função em três dimensões. No nosso caso, a função que queremos integrar é , e os limites de integração estão definidos para , e .
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Como não depende de , podemos tratar como uma constante durante essa integração.
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral do meio. Ficamos com:
integralx^2x 2xy(x + y) , dy
Vamos simplificar isso antes de integrar.
Passo 6
Distribuindo 2xy(x + y) = 2x^2y + 2xy^2 na expressão integralx^2x (2x^2y + 2xy^2) , dy , temos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente em relação a integralx^2x 2x^2y , dy = 2x^2 cdot y^22 g|x^2x = x^2(y^2) g|x^2x :