Calcule a integral iterada.
integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2 x y d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente vai calcular a integral iterada . Para isso, vamos precisar entender como quebrar a integral em partes menores e resolver passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. Ela serve pra calcular o volume de uma função em três dimensões. No nosso caso, a função que queremos integrar é , e os limites de integração estão definidos para , e .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Como não depende de , podemos tratar como uma constante durante essa integração.

Passo 4

Integrando integral0^x+y 2xy , dz = 2xy cdot z g|0^x+y = 2xy(x + y) - 2xy(0) = 2xy(x + y) em relação a , temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral do meio. Ficamos com:
integralx^2x 2xy(x + y) , dy
Vamos simplificar isso antes de integrar.

Passo 6

Distribuindo 2xy(x + y) = 2x^2y + 2xy^2 na expressão integralx^2x (2x^2y + 2xy^2) , dy , temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente em relação a integralx^2x 2x^2y , dy = 2x^2 cdot y^22 g|x^2x = x^2(y^2) g|x^2x :
integralx^2x 2xy^2 , dy = 2x cdot y^33 g|x^2x = 2x3(y^3) g|x^2x

Passo 8

Calculando os limites para cada parte:
Para x^2( (2x)^2 ) - x^2(x^2) = x^2(4x^2) - x^4 = 4x^4 - x^4 = 3x^4 :
2x3((2x)^3) - 2x3(x^3) = 2x3(8x^3) - 2x3(x^3) = 16x^43 - 2x^43 = 14x^43
Para :

Passo 9

Somando as duas partes:
3x^4 + 14x^43 = 9x^43 + 14x^43 = 23x^43
Então, agora a integral ficou:
integral0^1 23x^43 , dx

Passo 10

Finalmente, vamos integrar integral0^1 23x^43 , dx = 233 cdot x^55 g|0^1 = 2315 x^5 g|0^1 em relação a :

Resposta

Substituindo os limites, temos:
2315(1)^5 - 2315(0)^5 = 2315 - 0 = 2315
Então, o valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados