Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. ponto) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de séries numéricas na matemática, especificamente utilizando o Teste da Integral para analisar a convergência das séries. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 3
Vamos considerar a função , que é positiva, contínua e decrescente para . Isso satisfaz os requisitos para aplicarmos o Teste da Integral.
Passo 4
Aplicamos o Teste da Integral calculando a integral de de 2 até o infinito:
Fazendo uma substituição onde , então . A integral se transforma em:
Passo 5
A integral é igual a . Como tende ao infinito quando tende ao infinito, a integral diverge.
Resposta
Como a integral diverge, pela Aplicação do Teste da Integral, a série também diverge.