Calcule as integrais definidas: integral+1^2 x^3 cdot raizx^7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem potências de . Vamos precisar simplificar a expressão e usar as regras de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral1^2 x^3 cdot x^7/2 , dx pode ser reescrito como , já que a raiz quadrada é o mesmo que elevar ao expoente .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as potências de x^3 cdot x^7/2 = x^3 + 7/2 = x^13/2 . Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes. Portanto:
integral1^2 x^13/2 , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , usamos a regra básica da integração de potências:
integral x^13/2 , dx = x^15/215/2 = 215 x^15/2
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites depois de integrar.
Aplicando a regra:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 2:
215 x^15/2 |1^2 = 215 (2^15/2 - 1^15/2)
Sabemos que 2^15/2 = (2^1/2)^15 = raiz2^15 = 128raiz2 e pode ser reescrito como:
(porque e é ).

Resposta

Substituindo os valores, temos:
215 (128raiz2 - 1) = 256raiz2 - 215
Então, o valor da integral definida é .

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