Calcule a integral tripla.
integral triplaE e^x d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1,0 <= x <= y, 0 <= z <= x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE e^x , dV
onde o domínio E = (x, y, z) mid 0 <= y <= 1, 0 <= x <= y, 0 <= z <= x + y é definido por
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Precisamos entender os limites de integração para cada variável e resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla com os limites dados:
integral triplaE e^x , dV = integraly=0^1 integralx=0^y integralz=0^x+y e^x , dz , dx , dy
Aqui, estamos integrando com respeito a primeiro, depois a e, por fim, a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integralz=0^x+y e^x , dz = e^x cdot (x + y - 0) = e^x (x + y) . Como integraly=0^1 integralx=0^y e^x (x + y) , dx , dy não depende de , essa parte é fácil:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integralx=0^y e^x (x + y) , dx = integralx=0^y e^x x , dx + integralx=0^y e^x y , dx . Para isso, expandimos a expressão dentro da integral:
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
integral e^x x , dx
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C integralx=0^y e^x x , dx = y e^y - e^y - (0 - e^0) = y e^y - e^y + 1
Aplicando integração por partes:
Então,

Passo 6

Segunda integral:
integral e^x y , dx = y integral e^x , dx = y e^x + C
Então,
integralx=0^y e^x y , dx = y e^y - y e^0 = y e^y - y

Passo 7

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
(y e^y - e^y + 1) + (y e^y - y) = 2 y e^y - e^y - y + 1
Portanto, a integral fica:
integraly=0^1 (2 y e^y - e^y - y + 1) , dy

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a . Vamos dividir a integral em partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 9

  1. Integral de integral 2 y e^y , dy = 2 y e^y - integral 2 e^y , dy = 2 y e^y - 2 e^y + C :
Usamos integração por partes novamente:
  • integral -e^y , dy = -e^y + C integral -y , dy = -y^22 + C integral 1 , dy = y + C
Então,
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :

Passo 10

Agora, somando todas as integrais:
2 y e^y - 2 e^y - e^y - y^22 + y + C = 2 y e^y - 3 e^y - y^22 + y + C
Avaliado de 2 cdot 1 cdot e^1 - 3 e^1 - 1^22 + 1 = 2 e - 3 e - 12 + 1 = -e - 12 + 1 = -e + 12 a 2 cdot 0 cdot e^0 - 3 e^0 - 0^22 + 0 = 0 - 3 cdot 1 - 0 + 0 = -3 :
Para (-e + 12) - (-3) = -e + 12 + 3 = -e + 72 :
Para :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral tripla calculada é
integral triplaE e^x , dV = -e + 72

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