Calcule a integral tripla.
, onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde o domínio é definido por
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Precisamos entender os limites de integração para cada variável e resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla com os limites dados:
Aqui, estamos integrando com respeito a primeiro, depois a e, por fim, a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Como não depende de , essa parte é fácil:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, expandimos a expressão dentro da integral:
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então,

Passo 6

Segunda integral:
Então,

Passo 7

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a . Vamos dividir a integral em partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 9

  1. Integral de :
Usamos integração por partes novamente:
Então,
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral de :

Passo 10

Agora, somando todas as integrais:
Avaliado de a :
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral tripla calculada é

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