Calcule a integral tripla.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde o domínio
é definido por
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Precisamos entender os limites de integração para cada variável e resolver a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla com os limites dados:
Aqui, estamos integrando com respeito a
primeiro, depois a
e, por fim, a
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Como
não depende de
, essa parte é fácil:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, expandimos a expressão dentro da integral:
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Então,
Passo 6
Segunda integral:
Então,
Passo 7
Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Vamos agora integrar em relação a
. Vamos dividir a integral em partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 9
- Integral de
:
Usamos integração por partes novamente:
Então,
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
Passo 10
Agora, somando todas as integrais:
Avaliado de
a
:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é:
Resposta
A integral tripla calculada é
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