Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo. O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outros tipos de acumulações em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (z) e indo para fora.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Isso significa que vamos considerar
e
como constantes durante essa integração. A função que vamos integrar é
.
A integração de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra de potência para integrar
. Avaliando nos limites:
Passo 3
Agora, temos uma expressão mais simples para integrar em relação a
:
Antes de integrar, vamos expandir
:
Então, multiplicando por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar esta expressão em relação a
de 1 a 2:
Avaliando nos limites:
Para
:
Simplificando:
Então:
Para
:
Então, a diferença é:
$$
\frac{232}{315} - \left( -\frac{11}{3360} \right) = \frac{232}{315} + \frac{11}{3360} = \frac{232 \cdot 3360 + 11 \cdot 315}{315 \cdot 3360} = \frac{779520 + 3465}{1058400} = \frac{782, àn
\frac{232}{315} - \left( -\frac{11}{3360} \right) = \frac{232}{315} + \frac{11}{3360} = \frac{232 \cdot 3360 + 11 \cdot 315}{315 \cdot 3360} = \frac{779520 + 3465}{1058400} = \frac{782, àn
Resposta
A integral iterada vale aproximadamente 0,220.
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, onde
usando três ordens diferentes de integração.
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