Calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo. O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z , dz , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outros tipos de acumulações em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (z) e indo para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1-y x^3 y^2 z , dz = x^3 y^2 [ z^22 ]0^1-y . Isso significa que vamos considerar x^3 y^2 ( (1 - y)^22 - 0 ) = x^3 y^2 (1 - y)^22 e como constantes durante essa integração. A função que vamos integrar é .
A integração de em relação a é:
Aqui, usamos a regra de potência para integrar . Avaliando nos limites:

Passo 3

Agora, temos uma expressão mais simples para integrar em relação a integral0^x x^3 y^2 (1 - y)^22 , dy = x^32 integral0^x y^2 (1 - y)^2 , dy :
(1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2
Antes de integrar, vamos expandir y^2 (1 - y)^2 = y^2 - 2y^3 + y^4 :
Então, multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
x^32 ( integral0^x y^2 , dy - 2 integral0^x y^3 , dy + integral0^x y^4 , dy )
Calculando as integrais:
integral y^2 , dy = y^33, integral y^3 , dy = y^44, integral y^4 , dy = y^55
Substituindo:
x^32 ( [ y^33 ]0^x - 2 [ y^44 ]0^x + [ y^55 ]0^x ) = x^32 ( x^33 - x^42 + x^55 )

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
x^32 ( x^33 - x^42 + x^55 ) = x^66 - x^74 + x^810

Passo 6

Finalmente, vamos integrar esta expressão em relação a integral1^2 ( x^66 - x^74 + x^810 ) , dx = [ x^742 - x^832 + x^990 ]1^2 de 1 a 2:
2^742 - 2^832 + 2^990 = 12842 - 25632 + 51290
Avaliando nos limites:
Para 12842 = 6421, 25632 = 8, 51290 = 25645 :
6421 - 8 + 25645 = 64 cdot 4521 cdot 45 - 8 cdot 945945 + 256 cdot 2145 cdot 21 = 2880945 - 7560945 + 5376945 = (2880 - 7560 + 5376)945 = 696945 = 232315
Simplificando:
1^742 - 1^832 + 1^990 = 142 - 132 + 190 = (32 cdot 90) - (42 cdot 90) + (42 cdot 32)42 cdot 32 cdot 90 = 2880 - 3780 + 1344120960 = (-396)120960 = -113360
Então:
Para :
Então, a diferença é:
$$
\frac{232}{315} - \left( -\frac{11}{3360} \right) = \frac{232}{315} + \frac{11}{3360} = \frac{232 \cdot 3360 + 11 \cdot 315}{315 \cdot 3360} = \frac{779520 + 3465}{1058400} = \frac{782, àn

Resposta

A integral iterada vale aproximadamente 0,220.

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