Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo. O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outros tipos de acumulações em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna (z) e indo para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Isso significa que vamos considerar e como constantes durante essa integração. A função que vamos integrar é .
A integração de em relação a é:
Aqui, usamos a regra de potência para integrar . Avaliando nos limites:

Passo 3

Agora, temos uma expressão mais simples para integrar em relação a :
Antes de integrar, vamos expandir :
Então, multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar esta expressão em relação a de 1 a 2:
Avaliando nos limites:
Para :
Simplificando:
Então:
Para :
Então, a diferença é:
$$
\frac{232}{315} - \left( -\frac{11}{3360} \right) = \frac{232}{315} + \frac{11}{3360} = \frac{232 \cdot 3360 + 11 \cdot 315}{315 \cdot 3360} = \frac{779520 + 3465}{1058400} = \frac{782, àn

Resposta

A integral iterada vale aproximadamente 0,220.

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usando três ordens diferentes de integração.
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Calcule: