Calcule as integrais definidas: integral1^2 3-xx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 3x^3 - xx^3 = 3x^3 - 1x^2 . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 3

Agora, temos a integral separada em duas partes mais simples:
integral1^2 ( 3x^3 - 1x^2 ) dx = integral1^2 3x^3 dx - integral1^2 1x^2 dx
Vamos integrar cada termo individualmente.

Passo 4

Para integrar integral 3x^3 dx = 3 integral x^-3 dx = 3 ( x^-2-2 ) = -32x^2 , lembramos que integral 1x^2 dx = integral x^-2 dx = x^-1-1 = -1x , onde . Então:
Para integrar :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2 para cada antiderivada encontrada:
Para -32(2)^2 - ( -32(1)^2 ) = -38 + 32 = 32 - 38 = 128 - 38 = 98 :
-12 - ( -11 ) = -12 + 1 = 12
Para :

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
98 + 12 = 98 + 48 = 138
Portanto, o valor da integral definida é .

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