Calcule a integral tripla. , onde é limitada pelos planos e
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a configuração de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos determinar os limites de integração para , e com base nas restrições dos planos que delimitam a região .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites para cada variável. A região está no primeiro octante, já que , , são maiores ou iguais a zero. A equação do plano nos dá uma relação entre as três variáveis. Vamos expressar em função de e :
Passo 3
Agora, determinamos os limites para . Quando , temos , o que nos dá:
Então, varia de 0 até .
Passo 4
Em seguida, determinamos os limites para . Quando e , temos , portanto:
Então, varia de 0 até 2.
Passo 5
Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla. A ordem de integração será . A integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro. A integral interna é:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a :
Integrando em :
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral e integramos em :