Calcule a integral tripla.
, onde é limitada pelos planos e

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a configuração de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos determinar os limites de integração para , e com base nas restrições dos planos que delimitam a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites para cada variável. A região está no primeiro octante, já que , , são maiores ou iguais a zero. A equação do plano nos dá uma relação entre as três variáveis. Vamos expressar em função de e :

Passo 3

Agora, determinamos os limites para . Quando , temos , o que nos dá:
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Em seguida, determinamos os limites para . Quando e , temos , portanto:
Então, varia de 0 até 2.

Passo 5

Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla. A ordem de integração será . A integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral interna é:

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a :
Integrando em :

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Somando tudo:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral e integramos em :
Integrando termo a termo:

Passo 10

Substituímos :
E para , todos os termos são zero.

Resposta

O valor da integral tripla é .

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