Calcule a integral tripla.
integral triplaE x d V, onde E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e 3 x+2 y+z=6

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaE x , dV, onde a região E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e 3x + 2y + z = 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a configuração de integrais triplas em coordenadas cartesianas. Precisamos determinar os limites de integração para x, y e z com base nas restrições dos planos que delimitam a região E.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites para cada variável. A região E está no primeiro octante, já que x, y, z são maiores ou iguais a zero. A equação do plano 3x + 2y + z = 6 nos dá uma relação entre as três variáveis. Vamos expressar z em função de x e y:
z = 6 - 3x - 2y

Passo 3

Agora, determinamos os limites para y. Quando z=0, temos 3x + 2y = 6, o que nos dá:
2y = 6 - 3x Rightarrow y = 3 - 32x
Então, y varia de 0 até 3 - 32x.

Passo 4

Em seguida, determinamos os limites para x. Quando y=0 e z=0, temos 3x = 6, portanto:
x = 2
Então, x varia de 0 até 2.

Passo 5

Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla. A ordem de integração será dz , dy , dx. A integral fica:
integral0^2 integral0^3 - 32x integral0^6 - 3x - 2y x , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral interna é:
integral0^6 - 3x - 2y x , dz = x cdot z |0^6 - 3x - 2y = x(6 - 3x - 2y)

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a y:
integral0^2 integral0^3 - 32x x(6 - 3x - 2y) , dy , dx
Integrando em y:
x cdot [6y - 3x y - y^2]0^3 - 32x = x [6(3 - 32x) - 3x(3 - 32x) - (3 - 32x)^2]

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
6(3 - 32x) = 18 - 9x -3x(3 - 32x) = -9x + 92x^2 -(3 - 32x)^2 = -(9 - 9x + 94x^2) = -9 + 9x - 94x^2
Somando tudo:
18 - 9x - 9x + 92x^2 - 9 + 9x - 94x^2 = 9 - 9x + 94x^2

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral e integramos em x:
integral0^2 x (9 - 9x + 94x^2) , dx = integral0^2 (9x - 9x^2 + 94x^3) , dx
Integrando termo a termo:
92x^2 - 3x^3 + 916x^4 |0^2

Passo 10

Substituímos x=2:
92(4) - 3(8) + 916(16) = 18 - 24 + 9 = 3
E para x=0, todos os termos são zero.

Resposta

O valor da integral tripla é 3.

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