Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido: Entre as paraboloides e dentro do cilindro

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume exato de um sólido que está entre duas paraboloides: e , tudo isso dentro do cilindro . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, especificamente integrais múltiplas e mudança para coordenadas polares, porque o cilindro sugere simetria circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde essas duas paraboloides se cruzam, ou seja, onde . Vamos resolver essa igualdade para encontrar os limites de .

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Então, as duas paraboloides se interceptam quando . Mas como estamos dentro do cilindro , que é menor que , nossas integrais vão se desenvolver dentro desse cilindro.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, o cilindro se transforma simplesmente em , o que facilita a integração.
O volume pode ser calculado pela integral dupla:
Aqui, é a região dentro do cilindro , e .

Passo 5

Vamos reescrever e em coordenadas polares:
Então, a diferença fica:
Agora, configuramos a integral:
Aqui, o extra vem do elemento de área em coordenadas polares .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Então, avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, integremos em relação a :

Resposta

O volume exato do sólido é unidades cúbicas.

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, onde
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