Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido: Entre as paraboloides
e
dentro do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume exato de um sólido que está entre duas paraboloides:
e
, tudo isso dentro do cilindro
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, especificamente integrais múltiplas e mudança para coordenadas polares, porque o cilindro
sugere simetria circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde essas duas paraboloides se cruzam, ou seja, onde
. Vamos resolver essa igualdade para encontrar os limites de
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Então, as duas paraboloides se interceptam quando
. Mas como estamos dentro do cilindro
, que é menor que
, nossas integrais vão se desenvolver dentro desse cilindro.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Nesse sistema, o cilindro
se transforma simplesmente em
, o que facilita a integração.
O volume
pode ser calculado pela integral dupla:
Aqui,
é a região dentro do cilindro
,
e
.
Passo 5
Vamos reescrever
e
em coordenadas polares:
Então, a diferença
fica:
Agora, configuramos a integral:
Aqui, o
extra vem do elemento de área em coordenadas polares
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Então, avaliando de 0 a 1:
Passo 7
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
O volume exato do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule a integral tripla.
, onde
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitada pelos planos
e
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