A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre esse corpo e o meio ambiente. Seja
a temperatura desse corpo em função do tempo.
Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20_C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40_C e após 40 minutos é 20_C, qual a temperatura inicial do corpo?
Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20_C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40_C e após 40 minutos é 20_C, qual a temperatura inicial do corpo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo cuja temperatura varia com o tempo de acordo com a diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Isso está relacionado com a Lei de Resfriamento de Newton. Vamos precisar dessa lei para resolver o problema.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é representado por:
onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura do ambiente, -
é uma constante positiva.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
onde
é a temperatura inicial do corpo.
Passo 4
Sabemos que o refrigerador mantém a temperatura constante de
, então
. Também sabemos que após 20 minutos (
), a temperatura do corpo é
:
E após 40 minutos (
), a temperatura é
:
Passo 5
Vamos resolver essas duas equações para encontrar
. Primeiro, isolamos
na primeira equação:
Na segunda equação:
Passo 6
Observamos que
. Substituindo o valor de
:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A temperatura inicial do corpo era de 70 °C.
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Calcule as integrais definidas:
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitada pelos planos
e
Calcule a integral tripla.
, onde
é limitada pelos planos
,
e
Determine a função
, tal que
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