A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre esse corpo e o meio ambiente. Seja a temperatura desse corpo em função do tempo.
Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20_C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40_C e após 40 minutos é 20_C, qual a temperatura inicial do corpo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo cuja temperatura varia com o tempo de acordo com a diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Isso está relacionado com a Lei de Resfriamento de Newton. Vamos precisar dessa lei para resolver o problema.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é representado por:
onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo ,
  • é a temperatura do ambiente,
  • é uma constante positiva.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
onde é a temperatura inicial do corpo.

Passo 4

Sabemos que o refrigerador mantém a temperatura constante de , então . Também sabemos que após 20 minutos ( ), a temperatura do corpo é :
E após 40 minutos ( ), a temperatura é :

Passo 5

Vamos resolver essas duas equações para encontrar . Primeiro, isolamos na primeira equação:
Na segunda equação:

Passo 6

Observamos que . Substituindo o valor de :
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A temperatura inicial do corpo era de 70 °C.

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