Calcule a integral tripla.
, onde é limitada pelos planos , e

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos , , , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos determinar os limites de integração para , e com base nas equações dos planos que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os planos , e são os planos coordenados. Os planos e cortam esses eixos.
Para facilitar, vamos resolver para em termos de e :
  • Do plano , temos
  • Do plano , temos
Como deve ser menor ou igual a ambos, varia de 0 até o mínimo entre e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para e . Observando as equações e , e sabendo que varia até o mínimo desses valores, podemos estabelecer que, quando , e variam de 0 a 1.
Portanto, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a 1.

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral tripla como iterada:
Mas para simplificar, vamos notar que depende de qual de ou é menor. Isso acontece quando . Portanto, podemos dividir a região em duas partes: onde e onde .

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. Para : vai de 0 a
  2. Para : vai de 0 a
Assim, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Integrando em :
Agora, integraremos em :
Segunda parte:
Integrando em :
Integrando em :

Passo 7

Agora, somamos as duas partes e integramos em :
Simplificando:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral tripla vale .

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