Calcule a integral tripla.
integral triplaE z d V, onde E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0, y+z=1 e x+z=1

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral tripla integral triplaE z , dV, onde a região E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0, y+z=1 e x+z=1. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos determinar os limites de integração para x, y e z com base nas equações dos planos que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. Os planos x=0, y=0 e z=0 são os planos coordenados. Os planos y+z=1 e x+z=1 cortam esses eixos.
Para facilitar, vamos resolver para z em termos de x e y:
  • Do plano y+z=1, temos z = 1 - y
  • Do plano x+z=1, temos z = 1 - x
Como z deve ser menor ou igual a ambos, z varia de 0 até o mínimo entre 1 - y e 1 - x.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para x e y. Observando as equações y + z = 1 e x + z = 1, e sabendo que z varia até o mínimo desses valores, podemos estabelecer que, quando z=0, y e x variam de 0 a 1.
Portanto, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 1.

Passo 4

Com isso, podemos expressar a integral tripla como iterada:
integralx=0^1 integraly=0^1 integralz=0^min(1 - y, 1 - x) z , dz , dy , dx
Mas para simplificar, vamos notar que min(1 - y, 1 - x) depende de qual de 1 - y ou 1 - x é menor. Isso acontece quando x = y. Portanto, podemos dividir a região em duas partes: onde x <= y e onde x > y.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. Para x <= y: z vai de 0 a 1 - x
  2. Para x > y: z vai de 0 a 1 - y
Assim, a integral fica:
integralx=0^1 ( integraly=0^x integralz=0^1 - y z , dz , dy + integraly=x^1 integralz=0^1 - x z , dz , dy ) dx

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte: x <= y
integralx=0^1 integraly=0^x integralz=0^1 - y z , dz , dy , dx
Integrando em z:
integral0^1 - y z , dz = [ z^22 ]0^1 - y = (1 - y)^22
Agora, integraremos em y:
integraly=0^x (1 - y)^22 , dy = 12 [ integral0^x (1 - 2y + y^2) , dy ] = 12 [ y - y^2 + y^33 ]0^x = 12 ( x - x^2 + x^33 )
Segunda parte: x > y
integralx=0^1 integraly=x^1 integralz=0^1 - x z , dz , dy , dx
Integrando em z:
integral0^1 - x z , dz = (1 - x)^22
Integrando em y:
integraly=x^1 (1 - x)^22 , dy = (1 - x)^22 (1 - x) = (1 - x)^32

Passo 7

Agora, somamos as duas partes e integramos em x:
integral0^1 ( 12 ( x - x^2 + x^33 ) + (1 - x)^32 ) dx
Simplificando:
12 integral0^1 ( x - x^2 + x^33 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) ) dx = 12 integral0^1 (1 - 2x + 2x^2 ) dx
Integrando termo a termo:
12 [ x - x^2 + 2x^33 ]0^1 = 12 (1 - 1 + 23 ) = 12 cdot 23 = 13

Resposta

A integral tripla integral triplaE z , dV vale dfrac13.

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