Calcule a integral tripla.
, onde
é limitada pelos planos
,
e
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelos planos
,
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais triplas, para resolver isso. Precisaremos determinar os limites de integração para
,
e
com base nas equações dos planos que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os planos
,
e
são os planos coordenados. Os planos
e
cortam esses eixos.
Para facilitar, vamos resolver para
em termos de
e
:
- Do plano
, temos - Do plano
, temos
Como
deve ser menor ou igual a ambos,
varia de 0 até o mínimo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
e
. Observando as equações
e
, e sabendo que
varia até o mínimo desses valores, podemos estabelecer que, quando
,
e
variam de 0 a 1.
Portanto,
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Com isso, podemos expressar a integral tripla como iterada:
Mas para simplificar, vamos notar que
depende de qual de
ou
é menor. Isso acontece quando
. Portanto, podemos dividir a região em duas partes: onde
e onde
.
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes:
- Para
: vai de 0 a - Para
: vai de 0 a
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
Integrando em
:
Agora, integraremos em
:
Segunda parte:
Integrando em
:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes e integramos em
:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral tripla
vale
.
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Calcule as integrais definidas:
Determine a função
, tal que
Digitalizado com CamScar
Calcule: