Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral ln (pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituições que simplificam a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Observando a função logarítmica , podemos simplificar a expressão escolhendo . Assim, será uma função da variável , e isso nos ajudará a reescrever a integral de forma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = pi x dudx = pi Rightarrow du = pi , dx Rightarrow dx = dupi em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral ln (pi x) , dx = integral ln (u) cdot dupi = 1pi integral ln (u) , du e na integral original:

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral ln (u) , du = u ln (u) - u + C em relação a 1pi integral ln (u) , du = 1pi (u ln (u) - u) + C . Sabemos que:
Então, aplicando isso:

Passo 6

Por fim, substituímos 1pi (u ln (u) - u) + C = 1pi (pi x ln (pi x) - pi x) + C = x ln (pi x) - x + C de volta na expressão:

Resposta

A integral x ln (pi x) - x + C é igual a:

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