Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral 3 xraiz[3]x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de 3xraiz[3]x^2 usando o método da substituição. Isso está dentro da matéria de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever raiz[3]x^2 como x^23. Assim, a integral fica:
integral 3xx^23 , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração. Quando temos potências com a mesma base, subtraímos os expoentes:
3xx^23 = 3x^1 - 23 = 3x^13
Então, a integral fica:
integral 3x^13 , dx

Passo 4

Vamos aplicar o método da substituição. Aqui, não é estritamente necessário, mas para seguir o método, podemos deixar u = x^13. Então, derivando ambos os lados:
du = 13x^-23 , dx Rightarrow dx = 3x^23 , du

Passo 5

Substituindo u e dx na integral:
integral 3u cdot 3x^23 , du
Mas como u = x^13, temos x = u^3. Portanto, x^23 = u^2.
Substituindo mais:
integral 3u cdot 3u^2 , du = integral 9u^3 , du

Passo 6

Agora, integramos em relação a u:
9 integral u^3 , du = 9 cdot u^44 + C = 94u^4 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original x. Como u = x^13, substituímos de volta:
94(x^13)^4 + C = 94x^43 + C

Resposta

A integral é igual a 94x^43 + C, onde C é a constante de integração.

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