Calcule as integrais definidas.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a antiderivada da função . Precisamos encontrar a antiderivada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, encontramos a antiderivada de . A antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair os valores:

Passo 4

Vamos calcular os valores de e :
  • (pois corresponde a um ciclo completo no círculo trigonométrico)
  • (pois é o ângulo de 90 graus)

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na expressão:

Resposta

A integral definida é igual a .

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Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.