Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral usando o método da substituição. A integral que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial composta, e o que precisamos é encontrar uma maneira de simplificar essa expressão para facilitar a integração. Para isso, vamos usar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, quando substituída por uma nova variável, simplifica a integral. Observando a exponencial
, podemos escolher:
Essa escolha é estratégica porque a derivada de
em relação a
nos dará uma expressão que aparece multiplicando a exponencial na integral original.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Perceba que
é exatamente o que está multiplicando a exponencial na nossa integral original. Isso é perfeito para a substituição!
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
A integral agora está muito mais simples!
Passo 5
Agora, basta integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo
por
:
Resposta
A integral calculada é:
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