Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral sen(x)2+cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Basicamente, a ideia é trocar parte da integral por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir. Olha só o denominador: 2 + cos(x). Se a gente escolher u = 2 + cos(x), precisamos descobrir qual é o diferencial du nessa substituição.

Passo 3

Vamos derivar u em relação a x:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos substituir u e du na integral original:

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
-integral duu = -ln|u| + C
Lembrando que C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original x substituindo u de volta:
-ln|u| + C = -ln|2 + cos(x)| + C

Resposta

A integral é igual a - ln|2 + cos(x)| + C, onde C é a constante de integração.

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