Considere f uma funçāo contínua.
© Calcule integral1^e ln (x) d x usando o item (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de ln(x) de 1 até e. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar essa técnica e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da derivada e é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No caso da integral de ln(x), uma boa escolha é:
u = ln(x) e dv = dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v a partir das escolhas feitas:
du = 1x dx (derivando u = ln(x) )
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x dx
Simplificando a integral que sobrou:
ln(x) cdot x - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de 1 até e:
integral1^e ln(x) , dx = [ x ln(x) - x ]1^e
Vamos calcular nos limites:
Para x = e:
e ln(e) - e = e cdot 1 - e = e - e = 0
Para x = 1:
1 ln(1) - 1 = 1 cdot 0 - 1 = -1

Resposta

Subtraindo os valores:
0 - (-1) = 1
Portanto, integral1^e ln(x) , dx = 1.

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